正定義數值方法的探討

郭鴻基¹ 柳再明²

¹國立臺灣大學大氣科學系
²中央氣象局氣象資訊中心

(中華民國八十二年十月十二日收稿；中華民國八十二年十二月二日定稿)

摘要

　　本文研究是屬於數值天氣預報，或大氣理論模擬研究中，特殊數值方法之探討。文中著重Smolarkiewicz及Hsu-Arakawa正定義方法基本特性之討論。這些正定義數值方法可以保証平流計算之正（反）物理場，恆保持正（負）值。同時正定義計算方法可以有良好的質量保守，物理場向下游傳送，不受遠場影響之特性。
　　我們以高斯波、正弦波以及方形波等不同數學特質之一維平流，探討正定義法的精確度（收斂速度）、極大值之衰減、均方根誤差、穩定度。測試正弦波、高斯波結果顯示Smolarkiewicz（1983）低階法（SML）的相位有明顯往上游方向偏移，而且SML其校正步驟的反覆次數至多兩次即可。Smolarkiewicz高階法（SMH）則產生有正確的相位，在兩次校正後的振幅強度衰減很小（繞一圈320時距後，維持原極大值之93%）。Hsu和Arakawa（1990）方法的相位也十分準確，振幅的衰減程度（約原極大值之86.5%）比SML經二次校正（約原極值之80%）為優。Smolarkiewicz混合階法（SMM）和SMH的結果幾乎相同。因SMM計算項數較少，所以我們認為SMM是可用於氣象預報模式高精確度、高效率的正定義方法。在方形波的平流探討中，Hsu-Arakawa及Smolarkiewicz法皆產生似合理之值，但此二方法都不具效率性。為比較起見，本文亦包括上游法，二階中差分法（FD2）及四階空間二階時間中差分法（FD4）之比較。

關鍵詞：平流方程、正定義方法、反擴散